Г.В.Носовский, А.Т.Фоменко.
ИМПЕРИЯ.

© Copyright Глеб Владимирович Носовский, Анатолий Тимофеевич Фоменко

Глава 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СДВИГОВ В ХРОНОЛОГИИ ПО ГИСТОГРАММАМ
ЧАСТОТ РАЗНЕСЕНИЙ СВЯЗАННЫХ ИМЕН

1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1. 1. БОЛЬШАЯ КОЛОДА КАРТ И СОСТАВЛЯЮЩИЕ ЕЕ МАЛЫЕ КОЛОДЫ

Вернемся к модельной задаче о колодах карт (уже описанной в предыдущем параграфе), в терминах которой будут сформулированы необходимые определения.

Предположим, что в нашем распоряжении имеется некоторая последовательность карт К (колода карт), которая может содержать ПОВТОРЯЮЩИЕСЯ КАРТЫ. Будем говорить, что колода К СОДЕРЖИТ ДУБЛИКАТЫ, если она получена из нескольких одинаковых по составу и порядку более коротких колод карт Х (также содержащих, возможно, повторяющиеся карты), которые были сложены подряд в одну общую колоду ХХ... Х, а затем получившаяся таким образом БОЛЬШАЯ КОЛОДА БЫЛА ПЕРЕТАСОВАНА.

Мы допускаем, что перед тасованием каждый экземпляр исходной колоды Х был как-то ИСКАЖЕН. Под ИСКАЖЕНИЯМИ будем понимать случайное исключение, дублирование или замену отдельной карты или же последовательности подряд стоящих карт. Предположим однако, что локальные искажения в различных частях каждой из исходных колод НЕЗАВИСИМЫ друг от друга.

Если же исследуемая колода ДУБЛИКАТОВ НЕ СОДЕРЖИТ (то есть порядок карт в ней не порожден описанным выше механизмом), будем называть порядок карт в колоде ПРАВИЛЬНЫМ.

1. 2. ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ

Задача состоит в том, чтобы по известной последовательности карт в колоде К проверить гипотезу Н о том, что порядок карт в К

0 -- ПРАВИЛЬНЫЙ, то есть К не содержит дубликатов. Если гипотеза Н

0 отвергается, то требуется определить ВЕЛИЧИНЫ СДВИГОВ между экземплярами исходной колоды Х, расположенными в колоде К (и не до конца разрушенными при тасовании -- см. рис. 17).

Для решения этой задачи сформулируем следствие гипотезы Н,

0 допускающее проверку методами математической статистики.

1. 3. РАЗБИЕНИЕ БОЛЬШОЙ КОЛОДЫ

Пусть общее число карт в колоде К равно n и из них m различных. Разобъем колоду К на отрезки ОДИНАКОВОЙ ДЛИНЫ:

К = ( К, К,..., К ),

1 2 N где через N обозначено общее количество отрезков разбиения. Пусть каждый из этих отрезков содержит p карт. Разбиение выберем так, чтобы число карт в отрезке разбиения было существенно меньше общего числа карт в колоде К:

p \а<\А n.

1. 4. РАЗНЕСЕНИЕ ПАРЫ КАРТ КАК СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

Рассмотрим конечную вероятностную схему равновероятного выбора с возвращением двух карт из колоды К. Это значит, что происходит случайный равновероятный выбор карты в колоде К, эта карта запоминается и возвращается в колоду.

Затем также равновероятно выбирается вторая карта. Результатом выбора является (случайный) протокол, в котором записаны порядковые номера в колоде обеих выбранных карт k, k в

1 2 порядке их выбора.

Определим случайную величину \Вз\А, которую мы назовем РАЗНЕСЕНИЕМ выбранной пары карт. Пусть i и i -- порядковые

1 2 номера отрезков колоды К, в которых содержатся выбранные карты k и k. По определению положим:

1 2

\Вз\А = |i -- i |.

1 2

Таким образом, РАЗНЕСЕНИЕ \Вз\А -- ЭТО АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА РАЗНОСТИ НОМЕРОВ ОТРЕЗКОВ РАЗБИЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИХ ВЫБРАННЫЕ КАРТЫ.

1. 5. ЛОКАЛЬНОЕ ИСКАЖЕНИЕ ЛЕТОПИСИ -- КОЛОДЫ КАРТ

Пусть А -- некоторое событие, определяемое заданной структурой колоды К (то есть порядком карт в ней и ее разбиением на отрезки) и выбранной парой карт. Событие А назовем ЛОКАЛЬНЫМ СОБЫТИЕМ (локальным условием), если наступление этого события может быть обеспечено заменой карт в одном из отрезков разбиения колоды К (заменой, возможно зависящей от случая). Другими словами, локальное событие -- это такое событие, которое может быть обусловлено ЛОКАЛЬНЫМ ИСКАЖЕНИЕМ колоды К.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРИМЕР. Событие А, состоящее в том, что в

0 некотором отрезке разбиения содержатся карты сразу обоих выбранных видов является ЛОКАЛЬНЫМ СОБЫТИЕМ. В самом деле, изменив две карты, скажем, в первом отрезке разбиения так, чтобы в нем оказались такие же карты, как и выбранные, мы обеспечим наступление события А.

Если же говорить об исторических хрониках, МОДЕЛЬЮ КОТОРЫХ является колода карт К, то содержательный смысл понятия ``локальное событие'' состоит в следующем. Такие события, с одной стороны, могут возникать в итоге сознательных действий хрониста или переписчика, а с другой стороны, для их возникновения не требуется переделки всего текста хроники.

Скажем, в примере с событием А хронист, включивший в

0 какое-то место хроники имена двух персонажей, сделал это на основании своих вполне осознанных представлений о том, что они жили одновременно (или имели сходную судьбу и т. п.) и ему для этого не надо было перекраивать заново весь текст хроники.

В отличие от этого, ГЛОБАЛЬНЫЕ характеристики распределения имен в длинных исторических хрониках, мало чувствительные к их локальным искажениям, НЕ МОГЛИ КОНТРОЛИРОВАТЬСЯ ОТДЕЛЬНЫМИ ХРОНИСТАМИ. Изменение глобальных характеристик могло произойти лишь на заключительном этапе компиляции (согласования) крупных хроник и включения их в единую хронологическую шкалу. Поэтому именно ГЛОБАЛЬНЫЕ характеристики полезны при исследовании ``скрытой'' структуры летописей.

1. 6. ЛОКАЛЬНАЯ СВЯЗЬ КАРТ В ``ПРАВИЛЬНОЙ КОЛОДЕ''

НЕ ВЛИЯЕТ НА ГЛОБАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТАКИХ ЖЕ КАРТ

6. В основе предлагаемой методики лежит следующее интуитивно очевидное утверждение о статистических свойствах ПРАВИЛЬНОГО ПОРЯДКА карт в колоде К.

ГИПОТЕЗА

Если колода К не содержала дубликатов или же ее тасование было достаточно полным и структура дубликатов (коротких идентичных друг другу колод) в ней полностью разрушена, то ЛОКАЛЬНОЕ УСЛОВИЕ, НАЛОЖЕННОЕ НА ПАРУ ВЫБРАННЫХ КАРТ, НЕ МОЖЕТ ПОВЛИЯТЬ НА ХАРАКТЕР ГЛОБАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТАКИХ ЖЕ КАРТ ВО ВСЕЙ БОЛЬШОЙ КОЛОДЕ. В частности, локальное условие не должно влиять и на закон распределения случайной величины \Вз\А вне некоторой окрестности нуля, определяемой радиусом затухания взаимной зависимости отрезков разбиения колоды К.

В самом деле, распределение \Вз\А является ГЛОБАЛЬНОЙ характеристикой порядка карт в целом и мало чувствительно к хаотичным локальным изменениям этого парядка.

Это значит, что в случае ПРАВИЛЬНОГО порядка карт в К, условное распределение случайной величины \Вз\А при условии произвольного локального события А должно СОВПАДАТЬ вне некоторой окрестности нуля с безусловным распределением \Вз\А. Иначе говоря, из гипотезы Н вытекает такое следствие:

СЛЕДСТВИЕ ГИПОТЕЗЫ H.

Пусть А -- некоторое локальное событие, а \Ве\А -- радиус затухания зависимости между отдельными отрезками разбиения колоды К. (В качестве единицы измерения этого радиуса возьмем длину отрезка разбиения. Таким образом \Ве\А -- целое число.) Тогда распределение P{\Вз\А = x|A, \Вз\А \Д>\А \Ве\А} должно совпадать с распределением P{\Вз\А = x|\Вз\А \Д>\А \Ве\А}.

С другой стороны, в случае, когда гипотеза Н неверна и

0 колода К содержит дубликаты, указанные распределения могут очень сильно разниться на всем интервале возможных значений случайной величины \Вз\А (0\Д<\Вз\Д<\АN-1).

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРИМЕР. Возьмем событие А, определенное выше

0 и предположим, что колода К содержит дубликаты. Тогда для некоторых отрезков разбиения К, такие же как и в К карты будут

i i содержаться также в дубликатах даного отрезка. Таким образом, пары карт, тождественных с некоторыми картами из К, будут

i распределены по колоде К не совсем произвольно. А именно, они будут ``собираться'' в дискретно расположенной серии дубликатов отрезка К.

Значит и разнесение этих пар будет особенно часто принимать значения либо близкие к нулю, либо равные сдвигам между дубликатами этой серии в колоде К. Поскольку условие А

0 существенно ограничивает выбор пар карт -- рассматриваются лишь те, которые (сами или тождественные им) хоть раз попали в один и тот же отрезок разбиения колоды К, -- то описанная ситуация с дубликатами будет довольно типичной для ограниченного таким образом множества пар.

Это изменит распределение случайной величины \Вз\А (по сравнению с ее распределением на множестве всех пар) и заставит ее чаще принимать те значения, которые характерны для расстояний между дубликатами в К. Таким образом, условное распределение \Вз\А при условии А будет существенно отличаться от ее безусловного

0 распределения.

Сформулированное следствие позволяет проверять гипотезу Н в

0 конкретных хрониках. Более того, анализ условных распределений вида P{\Вз\А = x|A} с различными локальными событиями А дает возможность определить величины сдвигов между дубликатами в К.

p3'2'2

2. РАЗНЕСЕНИЯ СВЯЗАННЫХ ИМЕН

2. 1. ПРАВИЛЬНЫЙ ХРОНОЛОГИЧЕСКИЙ СПИСОК ИМЕН

В главе 1 было введено понятие ХРОНОЛОГИЧЕСКОГО СПИСКА ИМЕН, снабженного разбиением на главы и приведены примеры реальных хронологических списков. В настоящем разделе мы рассмотрим задачу проверки гипотезы Н_0 о том, что хронология того или иного хронологического списка имен является ПРАВИЛЬНОЙ.

Уточним понятие правильного списка по сравнению с определением, данным в главе 1. А именно, будем называть хронологию списка имен Х ПРАВИЛЬНОЙ, если список не является результатом размножения и последующего ``поблочного тасования'' (склейки со сдвигом и локального перемешивания) некоторого другого, БОЛЕЕ КОРОТКОГО списка Y. В противном случае будем говорить, что список Х СОДЕРЖИТ ДУБЛИКАТЫ. Под дубликатами понимаются первоначально одинаковые (при тасовании они могут быть искажены) отрезки различных экземпляров списка Y, содержащиеся в Х (см рис. 17).

Также как и в модельной задаче, мы допускаем возможность СЛУЧАЙНЫх искажений каждого из экземпляров списка Y, лежащих в основе списка Х, однако предполагаем, что локальные искажения в удаленных друг от друга частях списков ВЗАИМНО НЕЗАВИСИМЫ.

2. 2. СОПРЯЖЕННЫЕ ИМЕНА И ИМЕНА-РОВЕСНИКИ.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ

Следуя описанной в предыдущем разделе методике, рассмотрим вероятностную схему случайного равновероятного выбора с возвращением двух имен из списка Х и определим случайную величину \Вз\А -- РАЗНЕСЕНИЕ выбранной пары имен.

Напомним обозначения характеристик списка Х:

n -- общее число имен в списке Х (с учетом кратности их

вхождения в список);

m -- число различных имен списка Х;

N -- число глав списка Х.

Имена списка Х мы будем обозначать буквами a_i, где индекс указывает на порядковый номер данного имени в списке:

X = {a_1, a_2,..., a_n}. Обозначим через I множество различных имен списка Х. Это множество состоит из m имен (m I = {u_1, u_2,..., u_m}.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. РАЗНЕСЕНИЕМ \Вр\А(a_i, a_j) ДВУХ ИМЕН a_i и a_j списка Х, содержащихся соответственно в главах Х_r и Х_s списка, называется целое число:

\Вр\А(a_i, a_j) = |r -- s|.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Будем называть два имени и_r, и_s из I РОВЕСНИКАМИ (обозначение: и_r \В=\А и_s), если их первые вхождения в список Х попали В ОДНУ И ТУ ЖЕ главу списка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Будем говорить, что два имени и_r, и_s из I СОПРЯЖЕНЫ (обозначение: и_r \Д:\А и_s), если найдется такая глава в списке Х, которая содержит ОБА ЭТИХ ИМЕНИ.

Если два имени списка Х СОПРЯЖЕНЫ (являются РОВЕСНИКАМИ) как имена из I, то будем также называть из СОПРЯЖЕННЫМИ (РОВЕСНИКАМИ) и использовать соответствующие обозначения.

Рассмотрим конечную ``урновую'' схему равновероятного выбора двух имен списка Х с возвращением. Таким образом, в качестве пространства элементарных событий выступает декартово произведение \ВW\А = Х\Иx\АХ, в качестве алгебры событий \ВS\А -- совокупность всех подмножеств \ВW\А, а в качестве вероятностной меры -- равномерное распределение на \ВW\А: P{\Вw\А} = 1/n^2 для любого \Вw\А \Д(\А \ВW\А.

Имя списка, выбранное на первом шаге обозначим b_1, а на втором шаге -- b_2.

Предположим, что события A = {\Вw\А: b_1 \В=\А b_2} и B = {\Вw\А: b_1 \Д: b_2}, наступающие тогда, когда выбранная пара имен -- ровесники (событие A) или сопряжены (событие B), -- ненулевые, то есть их вероятности отличны от нуля:

P(A) Ь 0,

P(B) Ь 0. Рассмотрим условные вероятности P_A и P_B на \ВW\А:

P(A \ИП\А C)

P_A(С) = ----------,

P(A)

P(B \ИП\А C)

P_B(С) = ----------, C \ВE\А \ВS\А.

P(B)

Определим случайную величину \Вз\А (разнесение имен b_1 и b_2):

\Вз\А(\Вw\А) = \Вр\А(b_1, b_2).

Согласно этому определению, \Вз\А равна абсолютной величине разности номеров пары глав списка, в которых содержатся выбранные имена. (Если это одна и та же глава, то \Вз\А = 0). Случайная величина \Вз может принимать целые неотрицательные значения от 0 до N-1, где N -- общее число глав списка Х.

Обозначим через f_1, f_2, f_3 соответственно, распределения случайной величины \Вз\А относительно вероятностей P, P_A и P_B:

f_1(x) = P{\Вз\А = x},

f_2(x) = P_A(\Вз\А = x},

f_3(x) = P_B{\Вз\А = x} (x -- целое).

Таким образом f_1 -- это безусловные распределение случайной величины \Вз\А, а f_2 и f_3 -- условные распределения этой случайной величины при условии, что наступило событие A (для f_1 ) или B (для f_2). Нам будет удобно считать, что рассматривается не одна, а три случайные величины \Вз\А_1 = \Вз\А, \Вз\А_2 и \Вз\А_3, заданные на различных вероятностных пространствах (\ВW\А, \ВS\А, P), (\ВW\А, \ВS\А, P_A), (\ВW\А, \ВS\А, P_B) и имеющие распределения f_1, f_2, f_3 соответственно. (Это несколько упрощает терминологию.)

В дальнейшем, для распределений f_1, f_2, f_3 мы будем употреблять термин ``гистограмма частот''. Распределения f_2 и f_3 и вообще, условные распределения случайной величины \Вз\А при условии наступления некоторого локального события (напомним, что локальными мы называем события, наступления которых можно добиться подбором имен ЛИШЬ В ОДНОЙ главе списка, как, например, для введенных выше событий A и B), -- мы будем называть ``гистограммами частот разнесений связанных имен''.

Оказывается, что распределение \Вз\А (то есть функция f_1) не зависит от конкретного вида списка Х и его легко посчитать для широкого класса списков.

2. 3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛЕММА О РАЗНЕСЕНИИ СВЯЗАННЫХ ИМЕН

ЛЕММА. В том случае, когда во всех главах списка Х содержится одно и то же количество имен, распределение случайной величины \Вз\А задается формулой:

З 1

| -

если x=0,

P{\Вз\А = x} =| N

{ (1)

2(N -- x)

| --------Д

если 1\Д<\Аx\Д<\АN.

Ю 2

N Здесь x -- целое. Для остальных целых x соответствующая вероятность равна нулю.

Таким образом, для всех списков Х с главами постоянного объема функция f одна и та же -- это линейно убывающая в

1 промежутке от 1 до N-1 функция.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку случайная величина \Вз\А определяется по номерам глав, содержащих выбранные имена, то можно считать, что выбираются не сами имена, а главы. Так как объем глав по предположению постоянен, то выбор любой главы на первом шаге осуществляется с одинаковой вероятностью равной 1/N. То же верно и для второго шага выбора.

Рассмотрим сначала случай 1 \Д<\А x \Д<\А N. В этом случае существует ровно N -- x возможностей фиксировать главу с меньшим номером в паре глав, разнесенных на расстояние x в списке. Вторая глава в этой паре имеет номер на x больший, чем первая и этим определяется (по первой) однозначно. Учитывая, что глава с меньшим номером может появиться как на первом, так и на втором шаге выбора, получаем, что общее количество возможностей выбрать пару глав, разнесенных на расстояние x( с учетом порядка выбора), равно 2(N -- x). Вероятность выбрать наперед заданную пару глав с

2 учетом порядка выбора равна 1/N. Следовательно, по формуле

2 полной вероятности, P{\Вз\А = x} = 2(N-x)/N.

Пусть теперь x = 0. Тогда на обоих шагах выбора появляется одна и та же глава. Всего глав N и каждая из них может быть

2 выбрана дважды подряд с вероятностью 1/N. Следовательно, P{\Вз\А=0} = 1/N. Лемма доказана.

2. 4. НОРМИРОВКА СПИСКА ИМЕН

Как показывают расчеты для РЕАЛЬНЫХ хронологических списков, распределение \Вз\А имеет вид (1) даже в том случае, когда объемы глав списка равны друг другу ЛИШЬ ПРИБЛИЗИТЕЛЬНО. Это означает, что распределение \Вз\А УСТОЙЧИВО К ВАРИАЦИЯМ в объемах глав. Однако бывают случаи, когда хронологический список имен разбит на главы разко РАЗЛИЧНЫЕ по объему. В этом случае список необходимо НОРМИРОВАТЬ, разделив кратности вхождения имен в каждую главу на объем этой главы (чтобы не рассматривать дробных кратностей можно предварительно умножить все кратности на произведение объемов всех глав).

После такой нормировки ОБЪЕМЫ ГЛАВ СТАНУТ ОДИНАКОВЫМИ. Поэтому мы без ограничения общности будем считать, что распределение вероятностей P{\Вз\А = x} является линейно убывающей функцией на множестве целых чисел от 1 до N (причем при x=N она равно нулю).

2. 5. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СПИСКОВ ИМЕН С ПРАВИЛЬНОЙ

ХРОНОЛОГИЕЙ

Исследуем структуру хронологического списка Х, сравнивая распределение \Вз\А с распределениями \Вз\А и \Вз\А. Естественные

2 3 представления о том, как должен быть устроен правильный хронологический список имен приводят к следующему интуитивно очевидному утверждению:

(А) В случае ПРАВИЛЬНОЙ ХРОНОЛОГИИ списка Х, условие и \В=\А и

r s (или и \Д:\А и ), наложенное на пару имен списка, НЕ ДОЛЖНО ВЛИЯТЬ

r s на глобальные особенности взаимного расположения всего множества таких же имен в списке Х.

Ясно, что УТВЕРЖДЕНИЕ (А) ТЕСНО СВЯЗАНО С ПРИНЦИПОМ ЗАТУХАНИЯ ЧАСТОТ. В самом деле, оно означает, что локальные связи имен в списке не должны приводить к их глобальным связям.

Так будет, если в списке нет глобальных зависимостей, а локальные зависимости затухают. Но именно этого требует от правильных списков принцип затухания частот.

Утверждение (А) можно формализовать с помощью введенных выше случайных величин \Вз\А, \Вз\А и \Вз\А следующим образом.

2 3

(Б) Распределения случайных величин \Вз\А и \Вз\А, построенные по

2 3 списку с ПРАВИЛЬНОЙ ХРОНОЛОГИЕЙ, в котором отсутствует зависимость между различными главами, ДОЛЖНЫ СОВПАДАТЬ С РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ \Вз\А. Графики функций f и f, построенные по такому

2 3 списку, разбитому на главы одинакового объема, должны совпадать на промежутке от 1 до N с графиком ЛИНЕЙНО УБЫВАЮЩЕЙ функции. Если же между близкими главами списка есть взаимная зависимость, постепенно затухающая для все более отдаленных пар глав, то графики функций f и f должны совпадать с графиком линейно

2 3 убывающей функции ЛИШЬ на промежутке от \Ве\А до N, где \Ве\А -- радиус затухания зависимости в списке.

ЗАМЕЧАНИЕ. Строго говоря, это утверждение верно для БЕСКОНЕЧНЫХ списков, так как некоторые расхождения между распределениями \Вз\А и \Вз\А, \Вз\А могут возникать из-за КОНЕЧНОСТИ ДЛИНЫ

2 3 списка Х. Поэтому методика применима лишь к спискам достаточно большого объема (не менее 150-200 имен).

Ясно, что утверждение (Б) является следствием утверждения (А).

В самом деле, значения \Вз\А, большие, чем \Ве\А, определяются лишь теми парами имен, которые разнесены в списке не менее, чем на \Ве глав. Составы карт в главах, удаленных друг от друга не менее, чем на \Ве\А номеров, по предположению, независимы друг от друга. Утверждение (А) означает, что такая зависимость не может возникнуть и в том случае, если мы ограничимся рассмотрением лишь локально связанных пар имен (сопряженных, ровесников).

Таким образом, из (А) следует, что это ограничение не влияет (в правильных списках) на вероятность появления того или иного значения расстояний между именами в выбранной паре имен, при условии, однако, что это расстояние не меньше, чем \Ве\А. Другими словами, соответствующие условные распределения \Вз\А совпадают с безусловными -- что и утверждается в (Б).

ВЫВОД

Итак, для ПРАВИЛЬНЫХ списков имен Х распределения случайных величин \Вз\А и \Вз\А должны совпадать на отрезке [\Ве\А, N] с ЛИНЕЙНО

2 3 УБЫВАЮЩЕЙ ФУНКЦИЕЙ, равной нулю в точке x=N.

Предположим теперь, что список Х СОДЕРЖИТ ДУБЛИКАТЫ, сдвинутые друг относительно друга на расстояния \ВД\А,..., \ВД\А глав

1 D (см. рис. 17). Покажем, что в этом случае распределение случайной величины \Вз\А естественным образом ЗАВИСИТ от событий типа А или В, введенных выше.

В самом деле, пусть u, u -- имена, сопряженные

r s (встретившиеся) в некоторой главе Х списка Х. Тогда с некоторой

i вероятностью (большей, чем в отсутствии этого условия) эти же имена будут встречаться и в главах-дубликатах главы Х. Значит,

i разнесения пар имен, встретившихся в тех главах списка, которые имеют дубликаты в нем, с ПОВЫШЕННОЙ ЧАСТОТОЙ будут принимать значения 0, \ВД\А,..., \ВД\А, равные расстояниям между дубликатами в

1 D списке Х.

Если в списке ДОСТАТОЧНО МНОГО дубликатов, то случайные величины \Вз\А и \Вз\А заметно изменят свое распределение по сравнению

2 3 со случайной величиной \Вз\А. Это произойдет из-за того, что их значения будут сгущаться около нуля (что соответствует повторной встрече имен, встретившихся в главе Х, в дубликатах этой главы)

i и \ВД\А,..., \ВД\А (что соответствует ситуации, когда одно из имен,

1 D встретившихся в главе Х, попало в один дубликат этой главы, а

i другое -- в другой, отстоящий от первого на расстояние одного из сдвигов \ВД\А,..., \ВД\А ). См. рис. 20.

1 D

Следовательно, в случае, когда список Х СОДЕРЖИТ ДУБЛИКАТЫ, разнесенные друг от друга на расстояния \ВД\А,..., \ВД\А, гистограммы

1 D частот связанных имен f (x) и f (x) будут содержать ВСПЛЕСКИ на

2 3 значениях сдвигов \ВД\А,..., \ВД\А. Это обстоятельство иллюстрируется

1 D на рис. 21.

На этом рисунке условно изображен список Х, являющийся суммой (с наложением) трех взаимно дублирующих друг друга списков: Х = Y+Y+Y. Дубликаты Y=Y=Y сдвинуты друг относительно друга в Х на величины s, s, s соответственно. В верхней части

1 2 3 рисунка изображено, какая при этом получится гистограмма частот разнесений связанных имен -- она будет содержать всплески на значениях сдвигов s, s, s.

1 2 3

2. 6. СТАСТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ИМЕН БИБЛИИ.

ОТКРЫТИЕ РАНЕЕ НЕИЗВЕСТНЫХ ДУБЛИКАТОВ

ПРИМЕР 10. Гистограмма f частот разнесений связанных имен

2 для списка Б1 имен Библии с нормированными главами. См. рис. 22. Поскольку главы списка ИМЕН БИБЛИИ сильно разнятся по объему, гистограмма частот f для него СУЩЕСТВЕННО ОТЛИЧАЕТСЯ ОТ ЛИНЕЙНОЙ

1 ФУНКЦИИ (предположения Леммы не выполнены). Поэтому, частота вхождения имен в главы списка имен Библии были нормированы (о процедуре нормировки см. выше). ПОСЛЕ НОРМИРОВКИ ГИСТОГРАММА ЧАСТОТ F СОВПАЛА С ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИЕЙ, изображенной на рис. 22

1 пунктиром.

График f (x) изображен на рис. 22 в пределах изменения x от

2 \Ве\А=10 до N=218 (глав). Чтобы выделить наиболее массивные всплески на графике, он был сглажен по текущему отрезку длины 3 (то есть брались средние значений функции по трем последовательным значениям аргумента).

Вывод, который следует из рис. 22 (в соответствии со сказанным выше), состоит в следующем.

В ХРОНОЛОГИИ БИБЛИИ, ПО-ВИДИМОМУ, ПРИСУТСТВУЮТ ТРИ МАССИВНЫХ СДВИГА. Из них два сдвига -- сдвоенные (парные). Это:

а) Парный сдвиг на 29-30 и 36-41 глав (сдвиги измеряются в главах-поколениях). Сдвиг состоит из двух близких друг к другу сдвигов. Разница между сдвигами в паре -- приблизительно 10 глав.

б) сдвиг на 92-94 и 100-102 глав. Парный сдвиг с разницей в паре около 10 глав.

в) сдвиг на 136-139 (глав).

Первый из перечисленных сдвигов отвечает ИЗВЕСТНОЙ (классической) паре дубликатов в Библии:

1-4 ЦАРСТВ = 1-2 ПАРАЛИПОМЕНОН.

При этом, начало 1 Царств (=98 глава-поколение) и начало 1 Паралипоменон (=138 глава-поколение) разнесены на 40 глав-поколений, а последняя глава 4 Царств (=137) и последняя глава 2 Паралипоменон (=167) -- на 30 глав-поколений. Таким образом, первый из всплесков в паре отвечает сдвигу между окончаниями дублирующих друг друга библейских хроник 1-4 Царств и 1-2 Паралипоменон, а второй -- между их началами.

Парный всплеск б) говорит о наличии в списке имен Библии других дубликатов (РАНЕЕ НЕИЗВЕСТНЫХ), разнесенных приблизительно на 100 глав-поколений. Сравнение с рис. 8-а (график среднего возраста имен в списке имен Библии) позволяет предположить, что это -- либо сдвиг между дубликатами:

КНИГИ 1-4 ЦАРСТВ И КНИГИ НОВОГО ЗАВЕТА, либо сдвиг между дубликатами:

КНИГИ ПРОРОКОВ И КНИГА СУДЕЙ, либо смесь этих двух сдвигов.

Отметим, что так же, как и в случае а), этот сдвиг состоит из двух близких сдвигов, разница между которыми -- около 10 глав-поколений. По-видимому, это является отражением какого-то особого свойства хроники 1-4 Царств. Мы вернемся к этому обстоятельству в следующем примере.

Всплеск в) говорит о том, что в Библии содержится также СТАТИСТИЧЕСКИЙ ДУБЛИКАТ КАКОЙ-ТО ЧАСТИ ПЕРВОЙ ЕЕ КНИГИ -- БЫТИЕ. Это следует из того, что разнесение между концом книги Бытие и последними главами Библии составляет как раз около 140 глав. Значит, сдвиг на 140 глав может относиться лишь к главам из книги Бытие (в качестве первого дубликата в паре) -- иначе второй дубликат пришлось бы искать уже за правым пределом шкалы глав.

На рис. 23 для сравнения приведена также гистограмма f для

2 списка Б2 (повторы в Библии).

В основном, расположение всплесков на рис. 22 и рис. 23 СОВПАДАЕТ.

На рис. 23 сдвиг а) между библейскими хрониками 1-4 Царств и 1-2 Паралипоменон выражен ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО ЯРКО и очень хорошо видно, что он -- сдвоенный.

На рис. 23 также ЯРКО ВЫРАЖЕН сдвиг на 70 глав (плохо выраженный на рис. 22). Этот сдвиг, по-видимому соответствует паре (1-3 Царств / Пророки) -- ср. рис. 8-а).

ВЫВОД.

Таким образом, наш метод не только обнаружил ранее известные дубликаты внутри Библии, но и важные НОВЫЕ, РАНЕЕ НЕИЗВЕСТНЫЕ ДУБЛИКАТЫ. Следовательно, некоторые важные книги Библии говорят, по-видимому, ОБ ОДНИХ И ТЕХ ЖЕ СОБЫТИЯХ, что раньше замечено не было.

2. 7. ВЫДЕЛЕНИЕ ЛИШЬ ОДНОЙ ГРУППЫ ДУБЛИКАТОВ

ВНУТРИ СЛОЖНОЙ ЛЕТОПИСИ

Выше были введены два локальных условия на пару имен списка Х: u \В=\Аu (u и u -- РОВЕСНИКИ) и u \Д:\Аu (u и u -- СОПРЯЖЕНЫ).

i j i j i j i j Определим еще несколько условий этого типа и рассмотрим порожденные этими условиями гистограммы частот разнесений связанных имен.

Условия будем подбирать так, чтобы по соответствующим гистограммам частот определялись не все сдвиги между дубликатами в списке Х, а лишь те, которые присущи какой-то ОДНОЙ СИСТЕМЕ ДУБЛИКАТОВ в нем. Это позволит анализировать списки со СЛОЖНОЙ структурой дубликатов и БОЛЬШИМ количеством различных значений сдвигов между ними. е Пусть C -- некоторое множество глав списка имен Х, состоящее из d глав, не обязательно идущих подряд в списке:

C = {X ,..., X }.

i i

1 d

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Будем говорить, что два имени u и u

i j

с РОВЕСНИКИ ИЗ С (обозначение: u \В=\А u ), если они впервые

i j появились в списке в одной и той же главе, которая принадлежит множеству глав С.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Будем говорить, что два имени u и u

i j

с СОПРЯЖЕНЫ В С (обозначение: u \Д:\А u ), если они попали

i j вместе хотя бы в одну главу множества С.

По аналогии с локальными событиями А и В, рассмотренными выше, введем события:

A = {\Вw\А: b \В=\А b },

C 1 2

B = {\Вw\А: b \Д:\А b }.

C 1 2

Событие B является ЛОКАЛЬНЫМ, т. к. может быть определено

C составом, скажем первой главы из множества C.

Событие A ЛОКАЛЬНЫМ НЕ ЯВЛЯЕТСЯ, но оно будет локальным,

C если рассматривать не весь список Х, а его часть, начинающуюся с первой главы множества C (все главы с меньшими номерами отбросить), и исключить из нее все имена, впервые появившиеся в предшествующих (отброшенных главах).

Так же, как и выше, по событиям A и B определяются

C C

C C УСЛОВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ f (x) и f (x) случайной величины \Вз\А при

2 3 условии, что произошло событие A или B соответственно:

C C

f (x) = P(\Вз\А = x| A },

2 C

f (x) = P{\Вз\А = x| B } (x -- целое).

3 C

Утверждение (Б) сформулированное выше, сохраняет силу и для

C C гистограмм f (x) и f (x) при произвольном выборе подмножества

2 3 глав C.

Таким образом, для РАВНОМЕРНО ПЛОТНЫХ списков с ПРАВИЛЬНОЙ

C C хронологией графики функций f (x) и f (x) ДОЛЖНЫ СОВПАДАТЬ (быть

2 3 близки) на промежутке [\Ве\А, N] с графиком ЛИНЕЙНО УБЫВАЮЩЕЙ функции, равной нулю при x=N.

При этом, однако необходимо потребовать, чтобы количество связанных в C имен было ДОСТАТОЧНО ВЕЛИКО. Иначе возникнут расхождения графиков, обусловленные малостью выборки.

Рассмотрим теперь случай, когда список Х содержит дубликаты, причем среди дубликатов есть некоторые главы из множества C. Тогда имена, связанные в этих главах, будут с повышенной вероятностью повторяться в их дубликатах.

Это приведет к появлению ВСПЛЕСКОВ НА ГИСТОГРАММАХ f (x) и

C f (x) на местах разнесений, равных сдвигам между дубликатами

3 глав множества C. Сдвиги между дубликатами, которые не ``зацеплены'' с C, на этих гистограммах отражены не будут.

C C

Таким образом, гистограммы f (x) и f (x) позволяют

2 3 определять сдвиги, присущие подсистеме дубликатов в списке Х -- а именно, множеству дубликатов, ``зацепленных'' с C (то есть содержащему, в числе прочих, и какие-то главы из C).

C C

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гистограммы типа f (x) и f (x) мы будем

2 3 называть ЧАСТНЫМИ ГИСТОГРАММАМИ ЧАСТОТ РАЗНЕСЕНИЙ СВЯЗАННЫХ ИМЕН, в отличие от ОБЩИХ гистограмм типа f (x) или f (x).

2 3

Сравнение частных гистограмм частот разнесений связанных имен при различном выборе множества глав C позволяет выяснить - содержит ли список Х лишь ОДНУ СЕРИЮ дубликатов, или же этих серий в нем НЕСКОЛЬКО. Это сравнение позволяет также выяснять, В КАКИХ ИМЕННО частях списка Х наиболее резко проявляются те или иные сдвиги, найденные по общей гистограмме.

2. 8. ПРОДОЛЖЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ИМЕН БИБЛИИ

ПРИМЕР 11. (Продолжение ПРИМЕРА 10). Проведем более подробное исследование сдвигов между статистическими дубликатами в списке Б1 (собственные ИМЕНА В БИБЛИИ). Напомним, что список имен Библии перед применением данной методики был приведен к главам-поколениям одинакового объема путем нормировки частот употребления имен в главах.

Как мы видели (рис. 22, Пример 10), в списке имен Библии присутствуют ТРИ МАССИВНЫХ СДВИГА, причем два из них -- парные (сдвоенные). В обоих случаях парных сдвигов, расстояние между сдвигами в паре одно и то же -- приблизительно 10 глав-поколений.

Мы выдвинули гипотезу, что это отражает какое-то специальное свойство библейской хроники 1-4 Царств.

Скажем, эта хроника может иметь ``тяжелые концы'' и ``легкую середину''. Другими словами, начало и окончание хроники более насыщены содержанием и упоминают большее количество собственных имен, чем серединные отрезки этой хроники.

Тогда, действительно, дубликаты библейской хроники будут порождать парный (сдвоенный) сдвиг: один сдвиг в паре -- сдвиг между началами дубликатов, второй -- между их окончаниями, а в середине -- провал (слабо выраженный сдвиг) за счет снижения плотности информации в средней части дубликатов.

Сдвиги же между началами и окончаниями дубликатов могут слегка разниться, поскольку дубликаты могут оказаться по разному растянутыми на оси времени (один более сжат, а другой -- более растянут). Кроме того, сам отсчет разнесений мы делаем приблизительно -- по шкале поколений. В результате и возникает характерный сдвоенный сдвиг.

Однако, ВОЗМОЖНО И ДРУГОЕ ОБЪЯСНЕНИЕ -- сдвоенный сдвиг может отражать НАЛИЧИЕ БЛИЗКО РАСПОЛОЖЕННЫХ СТАТИСТИЧЕСКИХ ДУБЛИКАТОВ В САМОЙ БИБЛЕЙСКОЙ ХРОНИКЕ 1-4 Царств.

Если она содержит дубликаты, разнесенные приблизительно на 10 глав, то, очевидно, дублирование всей хроники приведет к парному (сдвоенному) сдвигу с разницей в паре около 10 глав. Однако в этом случае должен достаточно четко выявляться и сам сдвиг на 10 глав.

На графике f для всего списка имен Библии сдвиг на 10 глав

2 НЕ ВЫРАЖЕН (см. рис. 22).

Для более детального анализа построим ЧАСТНУЮ ГИСТОГРАММУ

C частот разнесений связанных имен f (x), выбрав в качестве C

2 множество глав-поколений {X ,..., X }. Это -- все главы Библии,

101 218 начиная с 1 Царств.

Основанием для такого выбора служит анализ графика среднего возраста в списке имен Библии, который показывает, что ВСЕ НАИБОЛЕЕ ЯРКО ВЫРАЖЕННЫЕ ДУБЛИКАТЫ ХРОНИКИ 1-4 ЦАРСТВ НАХОДЯТСЯ В ТОЙ ЧАСТИ БИБЛИИ, КОТОРАЯ СЛЕДУЕТ ЗА (! ) ЭТОЙ ХРОНИКОЙ.

{X ,.., X }

Частная гистограмма f 101 218 (x) для списка имен

2 Библии приведена на рис. 24. Для выделения наиболее массивных всплесков, график сглажен по текущему отрезку длиной 3 (главы). Значение \Ве\А было взято равным 4. Отчетливо выделяются три сдвига:

а) сдвиг на 10 глав (точнее: 9-12 глав);

б) парный сдвиг на 30/37 глав (это -- тот же сдвиг, который

присутствовал и на общей гистограмме f (x) -- см. рис. 22);

в) сдвиг на 50 глав.

Сдвиг на 100 глав в этой части Библии не выражен.

{X ,.., X }

Таким образом, анализ ЧАСТНОГО графика f 101 218 (x)

2 говорит в пользу гипотезы

О СУЩЕСТВОВАНИИ ДУБЛИРУЮЩИХ ДРУГ ДРУГА СЛОЕВ И В САМОЙ ХРОНИКЕ 1-4 Царств (сдвиг между ними -- около 10 глав).

Это согласуется и с анализом графика среднего возраста имен в списке имен Библии: в начале 4 Царств -- разладка процесса (рис. 8).

На рис. 25 приведен для сравнения частный график f для

2 C={X,..., X }. Это множество глав составляет часть Библии

1 100 приблизительно ДО НАЧАЛА хроника 1-4 Царств.

Здесь сдвиги на 10, 30 и 40 глав, исключительно ярко выраженные в остальной части Библии (начиная с книги 1 Царств), наоборот, выражены очень слабо.

Основными сдвигами являются парный сдвиг на 90/100 и сдвиг на 140 глав.

Сдвиг на 90/100 глав в остальной части Библии выражен слабо. Следовательно, он относится к паре дубликатов, один из которых входит в множество глав {X,..., X }. Сравнение с рис. 8б

1 100 показывает, что скорее всего, -- это пара Судьи -- Пророки (а не 1-3 Царств -- Новый Завет, так как книги 1-3 Царств не входят в множество глав {X,..., X }).

1 100

ВЫВОД.

ПРИМЕНЕНИЕ БОЛЕЕ ТОНКОГО МЕТОДА ПОДТВЕРЖДАЕТ НАЛИЧИЕ ДУБЛИКАТОВ В БИБЛИИ, ОБНАРУЖЕННЫХ ВЫШЕ И, КРОМЕ ТОГО, МЫ НАШЛИ В БИБЛИИ ЕЩЕ НЕСКОЛЬКО РАНЕЕ НЕИЗВЕСТНЫХ ДУБЛИКАТОВ.

БИБЛЕЙСКАЯ ХРОНОЛОГИЯ (КАК АБСОЛЮТНАЯ, ТАК И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ) НУЖДАЕТСЯ В ПЕРЕСМОТРЕ.

2. 9. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ИМЕН РИМСКИХ ПАП

Приведем еще несколько примеров гистограмм частот разнесений связанных имен.

ПРИМЕР 12. Гистограмма f (x) частот разнесений связанных

2 имен в списке П1 имен пап Рима. Эта гистограмма представлена на рис. 26.

Судя по рис. 26, СПИСОК ИМЕН РИМСКИХ ПАП СОДЕРЖИТ ЯРКО ВЫРАЖЕННУю СТРУКТУРУ ДУБЛИКАТОВ.

Наиболее массивный сдвиг между дубликатами составляет 330/400 лет (сдвиг парный).

Исключительно четко выражена система из 6-ти сдвигов, следующих друг за другом точно через 100 лет. Это -- сдвиги на 750, 850, 950, 1050, 1150 и 1250 лет (последний из этих сдвигов выражен несколько слабее).

Выявляется также сдвиг на 1400 лет. См. рис. 26.

Отметим, что все три основных сдвига ГХК (333, 780 и 1053 года) присутствуют в этом списке, причем на них почти точно приходятся места локальных максимумов графика: 330, 750, 1050 лет.

ВЫВОД.

СПИСОК РИМСКИХ ПАП ПОЛУЧЕН СКЛЕЙКОЙ НЕСКОЛЬКИХ ВЕРСИЙ ПО СУТИ ДЕЛА ОДНОГО И ТОГО ЖЕ БОЛЕЕ КОРОТКОГО СПИСКА.

ХРОНОЛОГИЯ РИМСКИХ ПАП НУЖДАЕТСЯ В ПЕРЕСМОТРЕ.

2. 10. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ИМЕН АРМЯНСКИХ КАТОЛИКОСОВ

ПРИМЕР 13. Гистограмма f (x) частот разнесений связанных

2 имен в списке АК имен АРМЯНСКИХ КАТОЛИКОСОВ. Эта гистограмма представлена на рис. 27 (сплошная кривая). Из вида гистограммы следут, что СПИСОК ИМЕН АРМЯНСКИХ КАТОЛИКОСОВ СОДЕРЖИТ СТРУКТУРУ ДУБЛИКАТОВ СО СДВИГАМИ НА 330, 800 И 1150-1200 ЛЕТ.

Два из них очень близки к основным сдвигам ГХК (имеются в виду сдвиги на 330 и 800 лет, которые почти совпадают со сдвигами на 333 и 780 лет). Возможно, в списке присутствует также слабо выраженный сдвиг на 1450 лет. См. рис. 27.

ВЫВОД.

СПИСОК АРМЯНСКИХ КАТОЛИКОСОВ ПОЛУЧЕН СКЛЕЙКОЙ НЕСКОЛЬКИХ ВЕРСИЙ ПО СУТИ ДЕЛА ОДНОГО И ТОГО ЖЕ БОЛЕЕ КОРОТКОГО СПИСКА.

ХРОНОЛОГИЯ АРМЯНСКИХ КАТОЛИКОСОВ НУЖДАЕТСЯ В ПЕРЕСМОТРЕ.

2. 11. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ МЕТОДА

Метод гистограмм частот разнесений связанных имен оказывается ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО ЧУВСТВИТЕЛЬНЫМ К НАЛИЧИЮ В СПИСКЕ СТРУКТУРЫ ДУБЛИКАТОВ.

Выше было показано, что для списков, в которых такой структуры НЕТ, гистограммы вида f (x), f (x) с большой точностью

2 3 должны совпадать с графиком линейной функции. Следовательно, если мы начнем случайно возмущать список (разрушая тем самым структуру дубликатов в нем), то гистограммы частот разнесений связанных имен должны по мере этого возмущения приближаться к линейной функции.

Это действительно так.

Более того, оказывается, что это ``выпрямление'' гистограмм частот f (x) и f (x) происходит ОЧЕНЬ БЫСТРО.

2 3

Это значит, что структура дубликатов в списке -- вещь достаточно ``тонкая'' и при случайном возмущении списка она быстро разрушается, исчезает.

СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ТО ОБСТОЯТЕЛЬСТВО, ЧТО МЫ ВСЕ ЖЕ ОБНАРУЖИВАЕМ ТАКУЮ СТРУКТУРУ В БОЛЬШОМ КОЛИЧЕСТВЕ РЕАЛЬНЫХ ХРОНОЛОГИЧЕСКИХ СПИСКОВ, ОТНЮДЬ НЕ ТРИВИАЛЬНО. СЛУЧАЙНО ОНО ВОЗНИКНУТЬ НЕ МОГЛО.

Мы воспользуемся примером списка имен АРМЯНСКИХ КАТОЛИКОСОВ для того, чтобы показать, как меняется гисторамма частот разнесений связанных имен при постепенном РАЗРУШЕНИИ системы дубликатов в списке (остальные хронологические списки имен ведут себя аналогично).

Обратимся снова к рис. 27. На нем помимо сплошной кривой изображена более сглаженная -- пунктирная. Это гистограмма f (x)

2 для (искаженного) списка имен армянских католикосов, в часть глав которого (30 из 175) было добавлено одно и то же имя.

Видно, что эта гисторамма СУЩЕСТВЕННО БЛИЖЕ К ПРЯМОЙ ЛИНИИ, чем исходная, хотя она и повторяет в точности ее структуру (места всплесков не изменились, но сами всплески стали более пологими).

Наконец, случайная перестановка 20% имен из списка АК ПОЛНОСТЬЮ РАЗРУШИЛА структуру дубликатов в нем (с ``точки зрения'' нашей методики): вычисленная после этого гистограмма f (x) в

2 точности совпала с линейной функцией (пунктирная прямая на рис. 27 изображает одновременно эту гисторамму и гистограмму f (x) ).

p3'2'3

3. МЕРА РАЗЛИЧИЯ МЕЖДУ ГИСТОГРАММАМИ ЧАСТОТ

РАЗНЕСЕНИЯ ИМЕН

Здесь мы введем меру различия между распределениями P{\Вз\А=x} и P{\Вз\А=x|A}, где A -- некоторое локальное событие. Эта мера имеет смысл вероятности того, что реализованное в эксперименте различие между этими двумя распределениями возникнет при гипотезе о правильности данного хронологического списка Х.

Предположим, что рассматриваемый хронологический список Х является результатом некоторого случайного эксперимента. При этом, мы будем считать, что общее количество имен в списке Х и их кратности вхождения в список заранее фиксированы (неслучайны), а порядок имен в списке Х является случайным элементом, который мы обозначим через \Вw\А_1.

Соответствующее вероятностное пространство обозначим через (\ВW\А_1, \ВS\А_1, P_1), где \ВW\А_1 -- множество всех перестановок имен в списке Х; \ВS\А_1 = 2^\ВW\А 1, P_1 -- некоторая вероятностная мера на \ВS\А_1, относительно которой мы пока не будем делать никаких предположений.

Таким образом, порядок имен в хронологическом списке Х мы рассматриваем как элементарный исход в вероятностной схеме (\ВW\А_1, \ВS\А_1, P_1).

Рассмотрим разбиение списка Х на N глав одинакового объема (Мы предполагаем, что длина списка n делится на N.) Число глав N считаем фиксированным и не зависящим от случая. Как и выше, построим по списку Х, разбитому на N глав, вероятностную схему повторного выбора с возвращением двух элементов списка Х и определим случайную величину \Вз\А -- разнесение выбранных элементов списка (абсолютную величину разности номеров глав, их содержащих).

Соответствующее этой схеме вероятностное пространство (\ВW\А_2, \ВS\А_2, P_2) состоит из множества элементарных исходов \ВW\А_2, которое представляет собой множество пар порядковых номеров выбранных элементов в списке : \Вw\А_2= {i, j}, 1\Д<\Аi, j\Д<\Аn, алгебры событий \ВS\А_2 = 2^\ВW\А 2 и равномерного распределения: P_2(\Вw\А_2) = 1/n^2 для любого \Вw\А_2\ВEW\А_2.

Поскольку мера P_2 не зависит от \Вw\А_1, то итоговое вероятностное пространство (\ВW\А, \ВS\А, P) является произведением пространств (\ВW\А_1, \ВS\А_1, P_1) и (\ВW\А_2, \ВS\А_2, P_2):

\ВW\А = \ВW\А_1\Иx\ВW\А_2; \ВS\А=2^\ВW\А; P(\Вw\А)=P(\Вw\А_1, \Вw\А_2)=P_1(\Вw\А_1)\Иx\АP_2(\Вw\А_2).

На вероятностном пространстве (\ВW\А, \ВS\А, P) определена случайная величина \Вз\А:

\Вз\А((\Вw\А)=\Вз\А(\Вw\А_1, \Вw\А_2)=\Вз\А(\Вw\А_2).

Пусть A -- некоторое событие из \ВS\А. Сформулируем предположение о вероятностной мере P_1 (то есть о вероятностном механизме образования порядка имен в правильном хронологическом списке).

ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ. Предположим, что случайная величина \Вз\А не зависит от события A:

P{\Вз\А=x|A} = P{\Вз\А=x} для всех x.

Никаких других условий на меру P_1 мы накладывать не будем. Сделанное предположение зависит от выбора события A. Если в качестве A выбрать локальное событие (определение локальных событий дано выше), то это предположение вытекает (для правильного хронологического списка) из сформулированного выше следствия гипотезы Н_0: P{\Вз\А=x|A, \Вз\Д>\Ве\А} = P{\Вз\А=x|\Вз\Д>\Ве\А}, где \Ве\А - радиус затухания зависимости в списке Х.

Здесь мы без ограничения общности будем считать, что \Ве\А=0. Общий случай сводится к этому простой модификацией вероятностой схемы (\ВW\А_2, \ВS\А_2, P_2).

p3'3'1

Продолжение

Эта страница разработана Чуркиным Александром. This page has been developed by Alexander Churkin.

Ваши замечения и комментарии только приветствуются. Your notes and comments are very appreciated.

Г.В.Носовский, А.Т.Фоменко. ИМПЕРИЯ.

Глава 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СДВИГОВ В ХРОНОЛОГИИ ПО ГИСТОГРАММАМЧАСТОТ РАЗНЕСЕНИЙ СВЯЗАННЫХ ИМЕН

Г.В.Носовский, А.Т.Фоменко.
ИМПЕРИЯ.

Глава 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СДВИГОВ В ХРОНОЛОГИИ ПО ГИСТОГРАММАМ
ЧАСТОТ РАЗНЕСЕНИЙ СВЯЗАННЫХ ИМЕН